Este material ´e resultado de um trabalho de inicia¸c˜ao cient´ıfica, projeto de n´umero 2022/07595-
9 fomentado pela FAPESP. Para seu uso, ´e esperado que o estudante j´a tenha feito um curso
b´asico de ´algebra linear e esteja familiarizado com espa¸cos vetoriais, transforma¸c˜oes lineares,
produto interno, etc. Para uma revis˜ao desses assuntos, as referˆencias [3] e [6] s˜ao boas op¸c˜oes.

Neste projeto, o objetivo principal foi o estudo de ´algebras de Lie munidas de m´etricas adinvariantes.
Numa primeira instˆancia, se estudou a estrutura de uma ´algebra de Lie, que n˜ao ´e
nada mais do que um espa¸co vetorial dotado de uma transforma¸c˜ao bilinear que satisfaz certas
propriedades (chamada comumente de colchete de Lie), [5]. Como primeiros exemplos foram
trabalhados espa¸cos vetoriais not´aveis de matrizes, como sl(n,R), so(n,R), sp(n,R), que s˜ao
´algebras de Lie cl´assicas com m´etricas ad-invariantes [5], [7], [3].

Com o estudo de formas bilineares, a ideia de m´etrica pode ser apresentada, bem como o
estudo de ´algebras de Lie com uma abordagem mais abstrata, [3], [5], [4], [8]. Atrav´es do c´alculo
da forma de Cartan-Killing nos espa¸cos cl´assicos de matrizes, foi poss´ıvel verificar que o colchete
de Lie ´e antissim´etrico. Uma m´etrica ´e uma forma bilinear n˜ao-degenerada que busca expandir
a no¸c˜ao de produto interno em espa¸cos vetoriais, e o fato de uma m´etrica ser ad-invariante
significa que o colchete de Lie define transforma¸c˜oes antissim´etricas com respeito `a m´etrica.

Finalmente, se estudou no fim do projeto o processo de extens˜ao dupla introduzido por Favre
e Santharoubane ([1]), ainda que em alguns exemplos pontuais. Este processo permite construir
´algebras de Lie com m´etricas ad-invariantes a partir de ´algebras com a mesma estrutura, mas
com dimens˜oes menores. Assim, foi poss´ıvel construir ´algebras de Lie de dimens˜oes baixas
partindo de ´algebras abelianas de dimens˜ao 1 ou 2.

The asymptotic behavior for entropy numbers of general Fourier multiplier operators of
multiple series with respect to an abstract complete orthonormal system, on a probability
space and uniformly bounded, is studied. For example, the orthonormal system can be
obtained as the product of the functions of the Vilenkin system, Walsh system on a real sphere
or of the trigonometric system on the unit circle. General upper and lower bounds for the
entropy numbers are established by using Levy means of norms constructed using the
orthonormal system. These results are applied to get upper and lower bounds for entropy
numbers of specific multiplier operators, which generate, in particular cases, sets of finitely
and infinitely differentiable functions, in the usual sense and in the dyadic sense. It is shown
that these estimates have order sharp in various important cases.

In this paper we extended the semiparametric mixed model for longitudinal censored data with
normal errors to Student-t erros. This models allows exible functional dependence of an outcome
variable on covariates by using nonparametric regression, while accounting for correlation between
observations by using random eects. Penalized likelihood equations are applied to derive the
maximum likelihood estimates which appear to be robust against outlying observations in the
sense of the Mahalanobis distance. We estimate nonparametric functions by using smoothing
splines jointly estimate smoothing parameter by the EM algorithm. Finally, the performance of
the proposed approach is evaluated through extensive simulation studies as well as application to
dataset from AIDS study.

In this work we investigate n-widths of multiplier operators defined for functions on a complex sphere and bounded from L^p into L^q. We study lower and upper estimates for the n-widths of Kolmogorov, linear, of Gelfand and of Bernstein, of such operators. As application we obtain, in particular, estimates for the Kolmogorov n-width of classes of Sobolev, of finitely differentiable, infinitely differentiable and analytic functions on a complex sphere, in L^q, which are order sharp in various important situations.