MS591 | IMECC - Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

Nível

Graduação

Nome da disciplina

Cálculo Fracionário

Número de Créditos

Oferecimento

A Critério da Unidade

Pré-requisito

MA311 + MA044

Ementa

Funções especiais: gama, beta e erro. Funções de Mittag-Leffler com um, dois e três parâmetros. Variáveis complexas: Funções analíticas, integral de Cauchy, Teorema dos resíduos. Transformada de Laplace e sua inversa. Integral fracionária de Riemann-Liouville. Derivadas fracionárias. Formulações de Riemann-Liouville e Caputo. Equações diferenciais fracionárias.

Conteúdo / Programa

1. Funções especiais (a) Função gama e suas propriedades; (b) Função gama incompleta. (c) Sı́mbolo de Pochhammer e a função gama; (d) Função beta e suas propriedades; (e) Relação entre as funções gama e beta; (f) Função erro e suas propriedades; (g) Exercı́cios de aplicação. 2. Funções de Mittag-Leffler (ML) (a) A clássica função de Mittag-Leffler e suas propriedades; (b) Generalização das funções trigonométricas e hiperbólicas; (c) Função de ML com dois parâmetros e suas propriedades; (d) Função de ML com três parâmetros e suas propriedades; (e) Relação entre as funções de ML com dois e três parâmetros; (f) Exercı́cios de aplicação. 3. Variáveis complexas (a) Revisão de números complexos; (b) Funções analı́ticas e as condições de Cauchy-Riemann; (c) Séries de Laurent; (d) Integral de Cauchy e resı́duos; (e) Teorema dos resı́duos e lema de Jordan; (f) Integrais reais via resı́duos; (g) Exercı́cios de aplicação. 4. Transformada de Laplace (a) Revisão e propriedades; (b) Produto de convolução; (c) Inversão da transformada de Laplace; (d) Contornos de Bromwich e Bromwich modificado; (e) Exercı́cios de aplicação. 5. Integral fracionária de Riemann-Liouville (a) Breve introdução ao cálculo fracionário; (b) Introdução às integrais fracionárias; (c) Função de Gelfand-Shilov; (d) Propriedades da integral fracionária; (e) Integral fracionária de Riemann-Liouville; (f) Exercı́cios de aplicação. 6. Derivadas fracionárias (a) Introdução às derivadas fracionárias; (b) Formulação de Grünwald-Letnikov; (c) Formulação de Riemann-Liouville; (d) Formulação de Caputo; (e) Relação entre as formulações de Riemann-Liouville e Caputo; (f) Propriedades das derivadas de Capúto e Riemann-Liouville; (g) Exercı́cios de aplicação. 7. Equações diferenciais fracionárias (a) Breve introdução às equações fracionárias; (b) Abel e a tautócrona; (c) Decaimento radioativo; (d) Equação logı́stica. Linearização; (e) Oscilador harmônico simples; (f) Sistema massa-mola amortecido; (g) Circuitos elétricos; (h) Transferência de Calor. Lei de Newton.

Referência Bibliográfica

[1] Edmundo Capelas de Oliveira. Solved Exercises in Fractional Calculus. Springer, 2019. [2] Adrián Ricardo Gómez Plata e Edmundo Capelas de Oliveira. Introducción al cálculo fraccional. Editorial Neogranadina, 2019. [3] Rubens de Figueiredo Camargo e Edmundo Capelas de Oliveira. Cálculo Fracionário. Editora Livraria da Física, 2015. [4] A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, e J. J. Trujillo. Theory and applications of fractional differential equations. Elsevier, 2006. [5] Kenneth S. Miller e Bertand Ross. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. Wiley-Interscience, 1993.

Forma de Avaliação

Por nota e frequência